George Polya slávne citáty

Matematika je najlacnejšia veda. Na rozdiel od fyziky alebo chémie nevyžaduje žiadne drahé vybavenie. Všetko, čo potrebujete pre matematiku, je ceruzka a papier.

Veľký objav rieši veľký problém, ale v riešení akéhokoľvek problému je zrnko objavu. Váš problém môže byť skromný, ale ak spochybňuje vašu zvedavosť a prináša do hry vaše vynaliezavé schopnosti, a ak ho vyriešite vlastnými prostriedkami, môžete zažiť napätie a vychutnať si triumf objavovania.

Kde mám začať? Začnite od vyhlásenia problému. ... Čo mám robiť? Vizualizujte problém ako celok čo najjasnejšie a najživšie. ... Čo tým môžem získať? Mali by ste pochopiť problém, oboznámiť sa s ním, zapôsobiť na jeho účel.

Dokonca aj celkom dobrí študenti, keď získali riešenie problému a úhľadne napísali argument, zavreli svoje knihy a hľadali niečo iné. Pritom im chýba dôležitá a poučná fáza práce. ... Dobrý učiteľ by mal pochopiť a zapôsobiť na svojich študentov názor, že žiadny problém, čo je úplne vyčerpaný.

Krása v matematike je vidieť pravdu bez námahy.

Pedantry a majstrovstvo sú opačné postoje k pravidlám. Uplatňovať pravidlo na list, pevne, nepochybne, v prípadoch, keď sa hodí a v prípadoch, keď sa nehodí, je pedantry. [...] Uplatňovať pravidlo s prirodzenou ľahkosťou, s úsudkom, všímať si prípady, do ktorých sa hodí, a bez toho, aby slová pravidla niekedy nechali zakrývať účel konania alebo príležitosti situácie, je majstrovstvo.

Ak sa chcete naučiť plávať, musíte ísť do vody a ak sa chcete stať riešiteľom problémov, musíte riešiť problémy.

Epitaf o Newtonovi: príroda a zákon prírody ležali ukryté v noci: Boh povedal: "Nech je Newton!"a všetko bolo ľahké. [pridal Sir John Collings Squire: netrvalo to: diabol kričal " Ho. Nech je Einstein, "obnovil status quo] [verzia Aarona Hilla: o' er zákony prírody Boh vrhol závoj noci, z Blaz ' d Newtonovu dušu a všetko bolo svetlo.

Moja metóda na prekonanie ťažkostí je obísť ju.

Na preklad vety z angličtiny do francúzštiny sú potrebné dve veci. Po prvé, musíme dôkladne pochopiť anglickú vetu. Po druhé, musíme byť oboznámení s formami vyjadrovania, ktoré sú charakteristické pre francúzsky jazyk. Situácia je veľmi podobná, keď sa pokúšame vyjadriť v matematických symboloch podmienku navrhnutú slovami. Po prvé, musíme dôkladne pochopiť stav. Po druhé, musíme byť oboznámení s formami matematického vyjadrenia.

Riešenie problémov je praktická zručnosť, ako napríklad plávanie. Akékoľvek praktické zručnosti získavame napodobňovaním a praxou. Pokúšate sa plávať, napodobňujete to, čo ostatní ľudia robia rukami a nohami, aby držali hlavu nad vodou, a nakoniec sa naučíte plávať cvičením plávania. Pokúšate sa riešiť problémy, musíte pozorovať a napodobňovať to, čo robia iní ľudia pri riešení problémov, a nakoniec sa naučíte robiť problémy tým, že ich robíte.

Ak existuje problém, ktorý nemôžete vyriešiť, potom existuje jednoduchší problém, ktorý nemôžete vyriešiť: nájdite ho.

Prvým pravidlom štýlu je mať čo povedať. Druhým pravidlom štýlu je ovládať sa, keď náhodou máte na srdci dve veci; povedzte najskôr jednu, potom druhú, nie obe súčasne.

Som príliš dobrý pre filozofiu a nie dosť dobrý pre fyziku. Matematika je medzi tým.

Matematika nie je divácky šport!

Matematika spočíva v preukázaní najzrejmejšej veci najmenej zrejmým spôsobom.

Úspech pri riešení problému závisí od výberu správneho aspektu, od útoku na pevnosť z jej prístupnej strany.

Je lepšie vyriešiť jeden problém piatimi rôznymi spôsobmi, ako vyriešiť päť problémov jedným spôsobom.

Matematika má dve tváre: je to prísna Veda Euklida, ale je to aj niečo iné. Matematika prezentovaná Euklidovským spôsobom sa javí ako systematická deduktívna veda; ale matematika vo výrobe sa javí ako experimentálna induktívna veda. Oba aspekty sú staré ako samotná veda o matematike.

Euklidov spôsob výkladu, ktorý neúnavne postupuje od údajov k neznámym a od hypotézy k záveru, je ideálny na podrobnú kontrolu argumentu, ale zďaleka nie je dokonalý na pochopenie hlavnej línie argumentu.

Analógia preniká celým naším myslením, každodennou rečou a našimi triviálnymi závermi, ako aj umeleckými spôsobmi vyjadrovania a najvyššími vedeckými úspechmi.

Aby ste vyriešili túto diferenciálnu rovnicu, pozeráte sa na ňu, kým vám nedôjde k riešeniu.

V "commentatio" (poznámka predložená Ruskej akadémii), v ktorej bola prvýkrát zverejnená jeho veta o mnohostenoch (o počte tvárí, hrán a vrcholov), Euler neposkytuje žiadny dôkaz. Namiesto dôkazu ponúka induktívny argument: overuje vzťah v rôznych osobitných prípadoch. Niet pochýb o tom, že tiež objavil vetu, ako mnoho z jeho ďalších výsledkov, induktívne.

Zámerne sa vyhýbam štandardnému pojmu, ktorý, mimochodom, v Eulerovej dobe neexistoval. Jedným z najškaredších výrastkov "novej matematiky" bolo predčasné zavedenie technických pojmov.

Matematik, ktorý dokáže iba zovšeobecňovať, je ako opica, ktorá dokáže iba vyliezť na strom, a matematik, ktorý sa môže iba špecializovať, je ako opica, ktorá dokáže iba zliezť zo stromu. V skutočnosti ani up monkey, ani down monkey nie sú životaschopné stvorenia. Skutočná opica musí nájsť jedlo a uniknúť svojim nepriateľom, a tak musí byť schopná neustále liezť hore a dole. Skutočný matematik musí byť schopný zovšeobecniť a špecializovať sa.

Hilbert mal raz študenta matematiky, ktorý prestal chodiť na svoje prednášky, a nakoniec mu bolo povedané, že mladý muž odišiel, aby sa stal básnikom. Hilbert údajne poznamenal: 'nikdy som si nemyslel, že má dosť fantázie na to, aby bol matematikom.'

Princíp je tak úplne všeobecný, že nie je možné jeho konkrétne uplatnenie.

Prvou a najdôležitejšou povinnosťou strednej školy vo výučbe matematiky je zdôrazniť metodickú prácu pri riešení problémov...Učiteľ, ktorý chce slúžiť rovnako všetkým svojim študentom, budúcim používateľom a neužívateľom matematiky, by mal učiť riešenie problémov tak, aby išlo o jednu tretinu matematiky a dve tretiny zdravého rozumu.

Správne písať a hovoriť je určite potrebné; ale to nestačí. Derivácia správne uvedená v knihe alebo na tabuli môže byť neprístupná a neinštruktívna, ak je účel postupných krokov nepochopiteľný, ak čitateľ alebo poslucháč nedokáže pochopiť, ako bolo ľudsky možné nájsť takýto argument....

Nápad, ktorý sa dá použiť raz, je trik. Ak sa dá použiť viac ako raz, stane sa metódou.

Najlepšie nápady sú zranené nekritickým prijatím a darí sa im pri kritickom skúmaní.

Veľký objav rieši veľký problém, ale v každom probléme je zrnko objavu.

Elegancia matematickej vety je priamo úmerná počtu nezávislých myšlienok, ktoré je možné vo vete vidieť, a nepriamo úmerná úsiliu, ktoré je potrebné na ich videnie.

Svet túži obdivovať tento vrchol a vyvrcholenie modernej matematiky: veta tak dokonale všeobecná, že nie je možné jej konkrétne uplatnenie.

Pomerne často, keď sa prezentuje myšlienka, ktorá by mohla byť užitočná, si ju nevážime, pretože je taká nenápadná. Odborník nemá možno viac nápadov ako neskúsený, ale viac oceňuje to, čo má, a lepšie ho využíva.

Aby učiteľ mohol efektívne učiť, musí si vyvinúť cit pre svoj predmet; nemôže prinútiť svojich študentov, aby cítili jeho vitalitu, ak to sám necíti. Nemôže zdieľať svoje nadšenie, keď nemá nadšenie zdieľať. To, ako sa vyjadruje, môže byť rovnako dôležité ako to, čo uvádza; musí to osobne cítiť ako dôležité.

Učiteľ si zriedka môže dovoliť vynechať otázky: Čo je neznáme? Aké sú údaje? Aká je podmienka? Študent by mal pozorne, opakovane a z rôznych strán zvážiť hlavné časti problému.

Jednou z prvých a najdôležitejších povinností učiteľa nie je dať svojim študentom dojem, že matematické problémy majú malé spojenie medzi sebou a vôbec žiadne spojenie s ničím iným. Pri spätnom pohľade na jeho riešenie máme prirodzenú príležitosť preskúmať súvislosti problému.

Ak nemôžete vyriešiť navrhovaný problém, skúste najskôr vyriešiť nejaký súvisiaci problém.

Je mnoho otázok, ktoré si hlupáci môžu položiť a na ktoré múdri nevedia odpovedať.

Prvým pravidlom objavovania je mať mozog a veľa šťastia. Druhým pravidlom objavu je sedieť pevne a čakať, až dostanete jasný nápad.

Ak je dobrá logika zavedená v nesprávnom čase alebo na nesprávnom mieste, môže byť najhorším nepriateľom dobrého učenia.

Matematika je lenivá. Matematika je nechať princípy robiť prácu za vás, takže nemusíte robiť prácu pre seba

Geometria je veda o správnom uvažovaní o nesprávnych číslach.

Otvoreným tajomstvom skutočného úspechu je vrhnúť celú svoju osobnosť do svojho problému.

Tam bol seminár pre pokročilých študentov v Zürich, že som učil a von Neumann bol v triede. Prišiel som k určitej vete a povedal som, že to nie je dokázané a môže to byť ťažké. Von Neumann nič nepovedal, ale po piatich minútach zdvihol ruku. Keď som ho zavolal, išiel k tabuli a pokračoval v písaní dôkazov. Potom som sa bál von Neumanna.

Ak dôkaz vychádza z axiómov, rozlišuje niekoľko prípadov a v učebnici vezme trinásť riadkov ... to môže dať mládež dojem, že matematika spočíva v preukázaní najzrejmejších vecí najmenej zrejmým spôsobom.

Budúci matematik ... mal by riešiť problémy, vyberať problémy, ktoré sú v jeho línii, meditovať nad ich riešením a vymýšľať nové problémy. Týmto spôsobom a všetkými ostatnými prostriedkami by sa mal snažiť urobiť svoj prvý dôležitý objav: mal by objaviť svoje záľuby a nepáči, svoj vkus, svoju vlastnú líniu.

Rozhliadnite sa okolo seba, keď máte prvú hubu alebo ste urobili prvý objav: rastú v zhlukoch.

Ak musíte dokázať vetu, neponáhľajte sa. Najprv úplne pochopte, čo hovorí veta, pokúste sa jasne vidieť, čo to znamená. Potom skontrolujte vetu; môže to byť nepravdivé. Preskúmajte dôsledky, overte toľko konkrétnych prípadov, koľko je potrebných na to, aby ste sa presvedčili o pravde. Keď ste sa presvedčili, že veta je pravdivá, môžete ju začať dokazovať.